清华00后博士生，一个念头打破数学界80年僵局 - 糖果派对APP

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2026年5月，顶尖数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国团队撰写的论文。该团队由清华大学/中国科学技术大学双聘教授马杰，以及清华大学博士生申武杰和中国科学技术大学博士生谢晟捷组成。

这篇论文首次在指数层面上对Erdős于1947年提出的概率方法进行了突破性改进。Erdős的概率方法奠定了概率组合学的基础，并在近80年的时间里，其极限都未被根本性超越。

一枚硬币掷了80年

Erdős的方法原理简明：为完全图的每条边进行随机着色，如同掷硬币一样，正面为红色，反面为蓝色。例如，在足够大的社交网络中，必然存在一群人全部相互认识或全部互不认识。Erdős利用此方法证明了“足够大”的规模至少是指数级的。

尽管在过去的研究中，学者们不断推进着上界，例如在2023年将上界从约4提升至3.7992，但下界的底数自Erdős提出以来近80年未有变动。直到马杰团队提出了一个基于球面的新颖想法。

硬币方法的局限性

硬币着色的特点在于每条边的红蓝两色概率均等且完全独立。这种方法易于分析，但未能利用几何结构来抑制单色团的形成，从而浪费了部分信息。

申武杰提出了“随机球图”模型，试图在随机性中引入几何概念。该模型将n个节点随机放置在高维球面上，并根据两点间的距离进行着色，距离远的边涂红色，距离近的边涂蓝色。高维球面的一个反直觉特性是，随着维度升高，几乎所有点都聚集在赤道附近，导致随机选取的两条径向线夹角接近90度。这使得点对间的距离集中在一个狭窄区间内，着色过程不再完全随机，而是受到球面几何对称性的精确调控，球面结构天然地抑制了大面积单色团的出现。

然而，球面模型也带来一个权衡：它降低了出现大红色团的概率，因为在有限的球面空间内，许多节点彼此远离的情况难以发生。相应地，蓝色团的概率则有所上升。

该团队随后在小规模图上进行了验证。结果显示，在数万种着色方案中，出现无团着色的概率依然大于零，表明所获得的收益确实超过了其代价。接下来的关键在于证明这一点，而证明的核心恰恰来源于高维球面那些反直觉的几何性质。

以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，即两个参数呈两倍关系的特殊情况。Erdős的硬币方法给出的下界底数恰好是黄金比例(1+√5)/2≈1.618。马杰、申武杰、谢晟捷将这一底数提升至(1+√5)/2 + 10⁻²¹。这个改进量极其微小，约为10⁻²¹。

然而，其重要性体现在指数上。Ramsey数是指数级增长的，即使下界底数仅增加0.000000000000000000001，当k趋向无穷时，新的下界也将远超旧的下界。近80年来，这一底数从未被触及。

该团队不仅微小地提升了数值，更重要的是证明了Erdős的硬币着色方案并非最优。随机球图在结构上优于纯随机着色，这表明概率方法的天花板远未达到。这是该领域自Erdős以来首次实现指数级改进，也首次提供了一条超越硬币方法的路径。但需要注意的是，该方法仅在蓝色团大于红色团时有效。当两种颜色的禁忌团大小相等，即Erdős最初关注的对角线情形时，新方法的优势将消失。

学界反响热烈

该论文于2025年7月在arXiv上发布后，不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai便在博客上发表长文，称赞该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe表示，一个熟悉的概念竟然能解决一个长期存在的问题，令人震惊，这项技术似乎一直隐藏在人们的视野之外。

2025年12月，马杰在UCLA的合作导师Benny Sudakov与其学生证明，即使使用高斯随机图，同样可以达到类似效果，无需球面模型。这一简化使得更多研究者能够参与到相关研究的推广中。2026年初，该方法又被推广至多色Ramsey数问题。最终，该研究成果于2026年5月正式发表于《Inventiones Mathematicae》。

清华00后博士生的直觉

马杰现任清华大学丘成桐数学科学中心教授及中国科学技术大学教授。他于2007年本科毕业于中科大，2011年在Georgia Tech获得博士学位，师从Xingxing Yu。之后，他在UCLA担任Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，随后转至CMU进行博士后研究。2015年回国后，他先在中国科学技术大学任教，并于2024年同时加入清华大学丘成桐数学科学中心和北京雁栖湖应用数学研究院。他曾于2017年获得国家优青，2022年获得国家杰青，并担任SIDMA期刊编委。2020年，他荣获ICA的Hall Medal，该奖项每年最多颁发两枚，专为40岁以下的杰出组合数学家设立。

谢晟捷在高中时期获得数学联赛广东赛区一等奖，并于高二年级通过少年班提前进入中科大。本科期间，他曾获得丘赛团体铜牌。2023年，他留校直博，师从马杰，在成果发表时为博士三年级学生。

申武杰，出生于2000年后，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，师从丘成桐。成果发表时为博士四年级学生。他高中时曾获CMO三等奖，2018年考入北京大学数学学院，本科期间获得全国大学生数学竞赛一等奖、阿里巴巴数学竞赛银奖以及ICCM创意本科论文奖。2022年，他直博进入清华大学。在博士前期，申武杰主要研究方向为几何与拓扑，与Ramsey理论并无直接关联。2024年春季，他偶然阅读了一篇关于Ramsey数的论文，被该领域深深吸引，并开始思考是否存在比Erdős硬币更有效的随机模型来生成无团着色。2024年秋季，当马杰到清华访问授课时，申武杰将此想法告知了他，随后马杰的学生谢晟捷也加入了研究。三人耗时一年，完成了包含40页密集计算的证明。马杰表示，他们感到非常幸运，所有的努力都得到了回报，但过程确实非常艰辛。

AI解题与人类创造力

与该论文发表的同月，DeepMind公布了AlphaProof Nexus的详细成果：在353个Erdős开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有成果均通过Lean形式化验证。其中两道难题已悬置56年。

AlphaProof Nexus利用Gemini 3.1 Pro驱动的agentic loop，反复搜索证明路径直至形式验证器认可。然而，其本质是在已知框架内进行搜索。陶哲轩曾评论道，AI是称职的助手，但并非同行，它擅长在既有方法中进行匹配搜索，却不擅长提出原创性想法。

马杰团队的研究恰恰属于后者，他们并非解决Erdős提出的某个具体问题，而是升级了Erdős发明的方法本身。AI从Erdős的遗产中拆解了9堵墙，而这三位中国学者则重铸了他最引以为傲的工具。在需要创造性洞察力的数学前沿领域，人类目前仍然不可替代。

结语

1947年，Erdős用一枚硬币开创了概率组合学。近80年后，一位来自中国、生于2000年后的博士生提出了一个想法：“不如将节点置于球面上试试。”

参考资料： https://www.quantamagazine.org/after-80-years-mathematicians-give-famed-erdos-method-an-upgrade-20260626/ 本文来源于微信公众号“新智元”，作者：ASI启示录，编辑：摩西。36氪经授权发布。

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